Лекция 9 Потенциальное силовое поле. Определение и свойства потенциального силового поля


fiz.na5bal.ru > Документы > Лекция


Лекция 9

Потенциальное силовое поле.
Определение и свойства потенциального силового поля.

Силовым полем называется трехмерное пространство, в каждой точке которого задана функция силы F(r;t). Если время t отсутствует явно, то поле стационарное.

Рассмотрим стационарное силовое поле, заданное в декартовых координатах x, y, z функциями:

Fx(x,y,z); Fy(x,y,z); Fz(x,y,z) (*)

Как было показано, для вычисления конечной работы силы силового поля, необходимо знать траекторию точки. Среди силовых полей существует класс потенциальных силовых полей, для которых конечная работа силы определяется только начальным и конечным положением точки и не зависит от траектории.

Силовое поле (38) называется потенциальным, если существует такая функция потенциальной энергии П(x,y,z), что

Fx= - ∂П/∂х Fy= - ∂П/∂y Fz= - ∂П/∂z

Пусть задано поле (*). Как проверить, является ли оно потенциальным? Мы считаем, что потенциальная энергия П является непрерывной, дважды дифференцируемой функцией координат. Тогда можно воспользоваться свойством: порядок взятия смешанной производной не влияет на результат :

, , ,

Отсюда критерии потенциальности cилового поля


Свойства работы потенциальных сил.

  1. Элементарная работа потенциальной силы равна минус дифференциалу потенциальной энергии. Действительно

d’A=Fdr=Fxdx+ Fydy+ Fzdz= ̶ (

Отсюда вытекают следующие свойства.

  1. Конечная работа потенциальной силы зависит только от начального и конечного положения точки

А12=

  1. Работа по замкнутому кругу равна нулю:

П12, поэтому Ао=0
Вычисление потенциальной энергии. Закон сохранения полной механической энергии.

Поверхность на которой П сохраняет значение называется эквипотенциальной:

П (x,y,z) =С1= const

Выясним направление F по отношению к потенциальной поверхности. Пусть точка перемещается по эквипотенциальной поверхности П=С1 . По свойству работы потенциальная сила F не совершает работы:

d’A = F dr = 0

Поскольку dr направлено произвольно в касательной плоскости к поверхности П = С1, то сила направлена перпендикулярно эквипотенциальным поверхностям.

dr

F

П=0

M(x,y,z)

Mo

С другой стороны

F=

Значит, сила направлена в сторону убывания П.

По свойствам дифференцирования обе функции П(х,у,z) и П(х,у,z) + С, где С- произвольная аддитивная постоянная, определяют одно и тоже силовое поле. Говорят, что потенциальная энергия определена с точностью до постоянной.

Выберем нулевой уровень потенциальной энергии. Переместим точку из произвольного положения М(х,у,z) пространства в любую точку нулевого уровня и сосчитаем работу силы:

AMМo= П(х,у,z)

Отсюда правило вычисления функций потенциальной энергии:
Функция П(х,у,z) вычисляется как работа потенциальной силы

r1

r2

Δr

F

x

y

z

h

на перемещение из произвольной точки М(х,у,z) на нулевой уровень.
Примеры:

  1. Постоянная сила F = const: А12= F 12dr = F (r2-r1)= F Δr

  2. Cила тяжести. Это частный пример постоянной силы:

Поле однородно, если

F = mg, g = const

Направим ось вертикально вверх, тогда

Fx=Fy=0 Fz = - mg

Все поверхности z = const эквипотенциальны. Поэтому

А12 = Fz (z1-z2) = ± mgh

Работа положительна, если точка опускается.

с

Fв

mg

l0

x

y

x

0

Прямая линейная пружина:

Естественная длина недеформированной пружины l0. При изменении длины на Δ= l -l0 ,называемом деформацией пружины, возникает упругая сила Fв. Она всегда стремится восстановить недеформированное состояние пружины, поэтому она называется восстанавливающей силой.

Пружина линейна, если сила Fв линейно зависит от деформации:

Fв Δ

Коэффициент с (н/м) называется жесткостью пружины. Если начало оси х выбрать в положении, где Δ=0, то

Fвх= - с х

Элементарная работа силы Fв

d’A= Fвx dx = - cx dx

Конечная работа силы Fв

A12= - c

Квадраты координат можно заменить их модулями- деформациями:

A12=

  1. Спиральная линейная пружина:

с’

φ = Δ’

Δ’= 0

При закручивании пружины на угол φ, называемый деформацией пружины Δ’, возникает упругий восстанавливающий момент Мв. Пружина линейна, если

Мвz= - с’ φ

Коэффициент с’ (нм) называется жесткостью пружины.

Конечная работа момента Мв

A12= - c’

A12=
Система называется консервативной, если все действующие на неё силы потенциальны.

Теорема об изменении кинетической энергии для консервативной системы в интегральной форме:

Т211212 или Т221 1

с

Fв

mg

l0

x

y

x

0

Полной механической энергией системы называется сумма её кинетической и потенциальной энергий:

Е=Т+П

Как видим, полная механическая энергия консервативной системы сохраняется

E = const

Предположим, что кроме потенциальных сил, на систему действуют не потенциальные силы, тогда:

dT=d’Aпот+ d’Aне пот=-dП+ d’Aне пот

Поделив на dt, найдем, что скорость изменения полной механической энергии равна мощности непотенциальных сил.

dE/dt=Nне пот

Например, при наличии силы вязкого сопротивления

Fсопр= - βV β = Const

полная механическая энергия убывает со скоростью

dE / dt = - βVV = - βV2

Обобщенные силы.

Статический принцип возможных перемещений для консервативной системы.

Рассмотрим консервативную несвободную систему с потенциальной энергией П (x,y,z), и обобщенными координатами q1....ql. Найдем обобщенные силы системы по определению



Пример: эллиптический маятник

Примем за нулевой уровень потенциальной энергии положение x=0, φ=0 и вычислим работу при возвращении системы в начало координат

П = m2gl (1- Cos φ)

П не зависит от х, значит Qx=0

Qφ = - ∂П/∂φ = - m2gl Sin φ
Статический принцип возможных перемещений:

δA=∑Qiδqi=0

Поскольку обобщенные возможные перемещения δqi независимы, то принцип можно прочитать следующим образом:

В положении равновесия все обобщенные силы обращаются в ноль.

Qi=0 (i=1,2,...,l)

Это значит, что

В положении равновесия потенциальная энергия консервативной системы имеет экстремум

∂П/∂qi=0 (i=1,2,...,l)

Следовательно, нахождение положений равновесия консервативной системы сводится к нахождению экстремумов функции П.
Уравнение Лагранжа для консервативных систем.

Циклические координаты и интегралы.

Рассмотрим консервативную несвободную систему с l степенями свободы. Потенциальная энергия П(q1...ql) определяет обобщенные силы

Qi = - ∂П/∂qi (i=1,2,...,l)

Уравнения Лагранжа приобретают вид

(i=1,2,..,l)

Здесь учтено, что потенциальная энергия не зависит от обобщенных скоростей



(i=1,2,..,l)

Запишем уравнения Лагранжа через функцию Лагранжа

L= T-П

(i=1,2,..,l)

Координата qσ называется циклической, если от нее не зависит функция Лагранжа

∂L/∂qσ=0

Уравнение Лагранжа с номером σ приобретает вид



и имеет циклический интеграл



Часто этот интеграл описывает случай сохранения количества движения или кинетического момента.
Пример: эллиптический маятник

П и Т не зависят от х, значит х- циклическая координата, и существует интеграл



Мы уже отмечали, что этот интеграл выражает ожидаемое сохранение количества движения системы вдоль оси х.

Лекция 9

Поделиться в соцсетях



Похожие:

Лекция 9 Потенциальное силовое поле. Определение и свойства потенциального силового поля iconЛекция «Электростатика» Цели урока: Учебные
Изучение нового материала: 1 электрический заряд и его свойства, 2 закон сохранения заряда, 3 закон Кулона, 4 электрическое поле,...

Лекция 9 Потенциальное силовое поле. Определение и свойства потенциального силового поля iconУрока по теме «Магнитное поле, свойства магнитного поля» Автор: Золотых...
Создание условий для деятельности студентов по изучению и закреплению понятия «магнитное поле»

Лекция 9 Потенциальное силовое поле. Определение и свойства потенциального силового поля iconУрока по теме «Магнитное поле, свойства магнитного поля» Автор: Золотых...
Создание условий для деятельности студентов по изучению и закреплению понятия «магнитное поле»

Лекция 9 Потенциальное силовое поле. Определение и свойства потенциального силового поля iconТематическое планирование по физике в 11 классе
Взаимодействие проводников с током. Магнитные силы. Магнитное поле. Основные свойства магнитного поля

Лекция 9 Потенциальное силовое поле. Определение и свойства потенциального силового поля iconКалендарно-тематическое планирование (11 класс) №
Взаимодействие проводников с током. Магнитные силы. Магнитное поле. Основные свойства магнитного поля

Лекция 9 Потенциальное силовое поле. Определение и свойства потенциального силового поля iconТема урока: Постоянные магниты. Магнитное поле Земли
Цель урока: познакомить обучающихся со свойствами постоянных магнитов. Добиться понимания ими реального и объективного существования...

Лекция 9 Потенциальное силовое поле. Определение и свойства потенциального силового поля iconУрок физики в 8 классе Тема: «Магнитное поле. Магнитные линии.»
Цели: Познавательная: при помощи физического эксперимента познакомить учащихся с основными свойствами магнитного поля

Лекция 9 Потенциальное силовое поле. Определение и свойства потенциального силового поля icon2. Закон Био-Савара-Лапласа и его применение к расчету магнитных полей
Теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного поля (закон полного тока). Вихревой характер магнитного поля. Применение закона...

Лекция 9 Потенциальное силовое поле. Определение и свойства потенциального силового поля iconКонспект урока по физике в 8 классе по теме: «Магнитное поле катушки...
Обучающая: изучить способы усиления и ослабления магнитного поля катушки с током; научить определять магнитные полюса катушки с током;...

Лекция 9 Потенциальное силовое поле. Определение и свойства потенциального силового поля iconСтатья относится к разделу : преподавание физики
Образовательная. Показать учащимся взаимосвязь между напряженностью и потенциалом электрического поля. Показать ее применение для...


Физика




При копировании материала укажите ссылку © 2000-2017
контакты
fiz.na5bal.ru
..На главную