Т 1 т 1 т 2 т 3 т 0


fiz.na5bal.ru > Алгебра > Лекция





Лекция 3



Необходимые условия равновесия внешних сил

Нагрузка и реакции определимых связей.

Прямая задача статики

Т1

Т1

Т2

Т3

Т0

Рис.1

Рассмотрим тело Т, находящееся в покое под действием удаленных тел, например, Т0 (дальнодействие), и неподвижных тел Т1, Т2, Т3, находящихся с ним в контакте, и называемых связями.

Силы дальнодействия определяется законами физики, поэтому обычно считаются известными. Все известные силы, действующие на тело, назовем нагрузкой. Неизвестные силы, с которыми связи действуют на тело, называются реакциями связи. Пусть на тело наложены достаточные связи, обеспечивающие его покой при произвольной нагрузке.

Прямой задачей статики является определение реакций связей по заданной нагрузке. Поскольку тело остается в покое при любой нагрузке, то с необходимостью выполнены условия равновесия внешних сил:



Откуда



Где индексом R обозначены искомые реакции связей, а индексом а – нагрузка.

В проекциях на оси x,y,z два векторных условия (1) дают шесть алгебраических уравнений для реакций связей, которые можно представить в матричном виде

(2)


Здесь А - матрица системы, зависящая только от устройства связей, х- столбец искомых реакций связей, у – столбец нагрузки. Как известно, алгебраическая система имеет единственное решение только если матрица А - квадратная (6 х 6), т.е. уравнения имеют шесть неизвестных и определитель матрицы отличен от нуля.

(3)

Курс лекций по ТМ А.Костарева 2011

Связи с такой матрицей А назовем статически определимыми (или коротко определимыми) потому, что реакции только таких связей могут быть определены из уравнений статики (2) .

Заметим, что условие (3) обеспечивает и тривиальность решения однородной системы

(4)


при отсутствии нагрузки. Это значит, что реакции определимых связей исчезают при снятии нагрузки. Иначе говоря, если

(5)


то все реакции определимых связей равны нулю.

Условие (3) означает, что в матрице А не должно быть линейно зависимых строк или столбцов. Строки независимы по ортогональности осей координат и независимости проекций на оси и моментов относительно осей. Зависимые столбцы могут появиться только в случае, если две силы реакции окажутся на одной прямой. Отсюда правило построения определимых связей

Ставя новую связь, нужно позаботиться о том, чтобы ее реакция

не могла оказаться на одной прямой с реакциями предыдущих связей.

При невыполнении условия (3), связи называются избыточными. Наличие избыточных связей можно выявить двумя мысленными экспериментами: нагревая тело или немного смещая опоры. Если при этом реакции изменяются, то связи избыточны.



При числе неизвестных, равном числу уравнений, избыточность связей в одном направлении всегда сопровождается их недостаточностью в другом направлении. Так для балки на двух опорах при «правильном» числе неизвестных, равном 3, при α = 0 связи становятся избыточными вдоль балки и недостаточными в отношении поворота вокруг опоры А.

Достаточность условий равновесия внешних сил для сохранения покоя твердого тела.


Обратная задача статики

Абсолютно твердое тело это модель тела, в которой расстояния между точками неизменны во времени. Такая модель значительно упрощает изучение покоя и движения тела. Она практически важна, поскольку деформации большинства деталей машин малы по сравнению с размерами деталей.

Теорема: Условия являются достаточными для сохранения покоя твердого тела.


Рассмотрим ненагруженное свободное покоящееся твердое тело. Свободное тело – это тело, движение которого не ограничено связями. Приложим к телу нагрузку {F}, удовлетворяющую условиям

(6)
Докажем, что тело останется в покое.

Предположим противное, т.е. что после приложения нагрузки {F}, тело все-таки начнет двигаться. Чтобы остановить движение, наложим на тело определимые связи. Тогда возникнут реакции связей {R}, и покой будет обеспечен. Значит, объединенная система сил нагрузки {F} и реакций связей {R} будет уравновешенной и с необходимостью будут выполнены условия:





Но ввиду (6) главный вектор и момент реакций окажутся равными нулю


Поскольку связи статически определимы, то отсюда вытекает, что все реакции равны нулю. Таким образом, связи не нужны, и тело остается в покое после приложения системы {F}. Значит условия (6) являются достаточными для равновесия системы сил {F} и сохранения покоя твердого тела. Теорема доказана.

В случае деформируемого тела условия (6) не достаточны. Это значит, что для равновесия деформируемого тела кроме условий (3), нужно выполнить и некоторые другие. Однако, если деформируемое тело фактически находится в покое, то уравнения (3) выполнены.

Рис.7

а)

б)

Пример: Если к покоящемуся мячу приложить две силы (Рис.7 б), мяч не останется в покое, он начнет деформироваться, система сил не будет уравновешенной, хотя условия (13) и будут выполнены. Однако, после того как мяч примет окончательную деформированную форму (Рис.1 а), система этих двух сил станет уравновешенной.

Условия (6) позволяют решить обратную задачу статики: проверить уравновешенность системы сил {F}, приложенной к свободному твердому телу.

Курс лекций по ТМ А.Костарева 2011
Скалярные условия равновесия частных систем сил.

а) Произвольная пространственная система сил

Хотя соотношения механики имеют векторный характер, все вычисления обычно ведутся в скалярной форме. Переход к скалярной форме осуществляется проектированием векторных соотношений на оси координат. Векторные условия равновесия V=0, Mo=0 в проекциях на декартовы оси координат дают шесть скалярных условий:






б) Пространственная система сходящихся сил.

О

Рис.3

Сходящейся называется система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке. Главный момент такой системы относительно точки пересечения сил О равен нулю Mo=0. Поэтому уравнения моментов 4,5,6 в (3) тождественно удовлетворены и остается три условия в проекциях:



Рис.4brouette_pente.jpg

Теорема о 3х силах: Если тело находится в покое под действием 3х сил, линии действия двух из которых пересекаются, то система сходящаяся.

Действительно, главный момент системы относительно точки пересечения двух сил равен моменту третьей силы и нулю. Значит и третья сила проходит через указанную точку.

z

x

y

V

Mo

Рис.5

Теорема позволяет графически решить, например, задачу (Рис.4) и найти треугольник сил, приложенных к тачке.



в) Пространственная система параллельных сил

Направим ось z параллельно силам. Тогда главный вектор V будет параллелен z, а главный момент Мо, будет принадлежать плоскости x y. То есть VMo. Условия 2,3,6 в (2) тождественно удовлетворены и остается 3 условия равновесия:



Курс лекций по ТМ А.Костарева 2011
г) Плоская система сил.

x

y

z

M0

V

Рис.6

О

В произвольной точке О плоскости сил (Рис.6) построим систему координат xОу так, чтобы плоскость ху совпала с плоскостью сил. Главный вектор системы V лежит в плоскости xOy, а главный момент Mo ей перпендикулярен. Следовательно 3,4,5 в (2) тождественно удовлетворены, и для равновесия

системы достаточно потребовать

I) (6)

Можно показать, что справедливы еще две формы уравнений равновесия для плоской системы сил:

II) () не перпендикулярно (7)

III) (ABC- не на одной прямой) (8)



Л3

Поделиться в соцсетях




Физика




При копировании материала укажите ссылку © 2000-2017
контакты
fiz.na5bal.ru
..На главную